a. Xét \(\Delta AHC\)có \(AH^2+HC^2=AC^2\)(1)

Xét \(\Delta AHB\) có \(AH^2+HB^2=AB^2\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HC^2-HB^2=AC^2-AB^2\left(đpcm\right)\)

b. Ta có \(HC=20-HB\Rightarrow\left(20-HB\right)^2-HB^2=AC^2-AB^2\)

\(\Rightarrow400-40HB=15^2-11^2=104\)\(\Rightarrow HB=7,4\Rightarrow HC=12,6\left(cm\right)\)

\(AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{15^2-\left(12,6\right)^2}=\frac{6\sqrt{46}}{5}\left(cm\right)\)

Hình vẽ:

a) Xét \(\Delta AHC\)có \(AH^2+HC^2=AC^2\)(1)

Xét\(\Delta AHB\)có \(AH^2+HB^2=AB^2\)(2)

Từ 1 và 2\(\Rightarrow HC^2-HB^2=AC^2-AB^2\left(đpcm\right)\)

b) Ta có: \(HC=20-HB\Rightarrow\left(20-HB\right)^2-HB^2=AC^2-AB^2\)

\(\Rightarrow400-40HB=15^2-11^2=104\Rightarrow HB=7,4\Rightarrow HC=12,6\left(cm\right)\)

\(AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{15^2-\left(12,6\right)^2}=\frac{6\sqrt{46}}{5}\left(cm\right)\)

\(BC=BH+HC=10\left(cm\right)\\ \text{Áp dụng HTL: }\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{BH\cdot BC}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{CH\cdot BC}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

đề có thiếu gì ko bn

\(CB=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

AH=15*20/25=12(cm)

BH=15^2/25=9(cm)

CH=25-9=16cm

Bài 1:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=5^2-3^2=16\)

hay AC=4cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{4^2}{5}=3.2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot5=3\cdot4=12\)

hay AH=2,4cm

Bài 2: 

Ta có: BC=HB+HC

nên BC=3,6+6,4

hay BC=10cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=3.6\cdot10=36\\AC^2=6.4\cdot10=64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=6\left(cm\right)\\AC=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=6^2-3.6^2=23.04\)

hay AH=4,8cm

Ta có : \(\frac{HB}{HC}=4\Rightarrow HB=4HC\)

lại có : \(BC=HB+CH\Rightarrow25=4HC+CH\Leftrightarrow5HC=25\Leftrightarrow HC=5\)cm 

=> \(HB=4.5=20\)cm 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC=20.25\Rightarrow AB=10\sqrt{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH^2=HC.HB=100\Rightarrow AH=10\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=CH.BC=5.25\Rightarrow AC=5\sqrt{5}\)cm

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.10.25=\frac{250}{2}=145\)cm²

Nguyễn Thị Thơm bn tham khảo ở đây nhé:

Theo hệ thức lượng tam giác vuông 

AC² = HC x BC = 16 x BC

AH² = HC x BH = 16 x BH

1/AH² = 1/AC² + 1/AB²

Thay 1,2 vào 3 

1/16 x BH = 1/16 x BC + 1/15²

Mặt khác:

BH = BC - HC = BC - 164

Thay vào 4

1/16 x ( BC - 16 ) = 1/16 x BC + 1/225

<=> 1/( BC - 16 ) - 1/BC = 16/225 

<=> ( BC - BC + 16 )/(( BC - 16 ) x BC )

=> BC = 25 ( thỏa mãn ) BC = -9 ( loại ) 

Thay vào 1 ta có AC = 20 cm

 2 ta có AH = 12 cm

Vậy: AH = 12 cm

3:

Đặt HB=x; HC=y

Theo đề, ta có: x+y=289 và xy=120^2=14400

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

a^2-289a+14400=0

=>a=225 hoặc a=64

=>(x,y)=(225;64) và (x,y)=(64;225)

TH1: BH=225cm; CH=64cm

=>\(AB=\sqrt{225\cdot289}=15\cdot17=255\left(cm\right)\) và \(AC=\sqrt{64\cdot289}=7\cdot17=119\left(cm\right)\)

TH2: BH=64cm; CH=225cm

=>AB=119m; AC=255cm

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

\(AB^2=BH^2+AH^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vg tại A có đg cao AH:

\(AH^2=BH.HC\)

\(\Rightarrow HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{2^2}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(AC^2=HC^2+AH^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt[]{2^2+\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)

Ta có: \(BC=HC+BH=\sqrt{5}+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+4\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)